6 Carte EWMA
6.1 Introduction
La carte de Shewhart de la moyenne est très simple à mettre en oeuvre et à interpréter. Cependant elle n’a pas une très grande efficacité surtout :
en cas de faibles et moyennes déviations
en cas de structure d’autocorrélation, c’est à dire lorsque le passé a une influence, par exemple lorsqu’une tendance croissante apparaît.
Exemple :
On suit une production de caractéristique \(\mu=15\) et \(\sigma=2\). Pour ce faire 14 prélèvements de 4 unités de production ont été réalisés. On construit la carte de moyenne de Shewhart. A partir du 4ième prélèvement on constate une déviation de la moyenne et un décentrage supérieur. La carte de Shewhart ne détecte cette déviation que très tardivement (14ième prélèvement).
Une des solutions est la carte EWMA
6.2 Définition des cartes EWMA
EWMA : Exponentially Weighted Moving Average
On définit la statistique \(z_i\) par une relation de récurrence pour tout \(i=1,...,k\)
\[ z_i=\lambda \bar x_i +(1-\lambda)z_{i-1}, \]
où \(\bar x_i\) est la moyenne des unités pour le prélèvement \(i\) et \(0<\lambda\leq 1\) est un réel qui sera choisi en fonction du poids que l’on veut donner aux données précédentes. En effet, en général on choisit \(z_0=\mu\) (moyenne du procédé de fabrication). On a \[ \begin{cases} z_1=\lambda \bar x_1+(1-\lambda)\mu \\ z_2=\lambda \bar x_2+(1-\lambda)z_1= \lambda \bar x_2+\lambda(1-\lambda)\bar x_1+(1-\lambda)^2\mu \\ z_3=\lambda \bar x_3+\lambda(1-\lambda)\bar x_2+\lambda(1-\lambda)^2\bar x_1+ (1-\lambda)^3\mu \\ \ldots \end{cases} \]
La cas \(\lambda=1\) correspond à la carte de Shewhart sur la moyenne.
On constate que \(\bar x_i\) a une importance d’autant plus importante dans \(z_i\) que \(\lambda\) est grand.
En général on utilise \(0.25<\lambda<0.5\).
6.3 Limites de contrôle des cartes EWMA
Les limites de ces cartes sont variables (en fonction de \(i\)) pour \(X\sim \mathcal N(\mu,\sigma)\) on a :
\[ LC = \mu \pm L\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\times \sqrt {\frac{\lambda}{2-\lambda}[1-(1-\lambda)^{2i}] } \]
Lorsque le nombre \(i\) de prélèvement est très grand alors \(LC = \mu \pm L\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\times \sqrt {\frac{\lambda}{2-\lambda}}\). Dans ce cas on peut jouer sur ce paramètre \(L\) pour améliorer l’efficacité de la carte en fonction de \(\lambda\).
On constate que sur les petites déviations de production l’efficacité des cartes EWMA est bien supérieure à celle de la carte de Shewhart.
6.4 Retour à l’exemple :
On constate que contrairement à la carte de la moyenne la carte EWMA détecte le décentrage dès le 8ième prélèvement.
Y<-ewma(data,center = 15,std.dev = 2,sizes = 4)