4 Carte EWMA
4.1 Introduction
La carte de Shewhart de la moyenne est très simple à mettre en oeuvre et à interpréter. Cependant elle n’a pas une très grande efficacité surtout :
en cas de faibles et moyennes déviations
en cas de structure d’autocorrélation, c’est à dire lorsque le passé a une influence, par exemple lorsqu’une tendance croissante apparaît.
Exemple :
On suit une production de caractéristique \(\mu=15\) et \(\sigma=0.5\).
On suppose qu’à partir du 11-ième prélèvement la caractéristique connait une déviation de moyenne \(\mu_D=15.5\) associée à une réduction de la variabilité \(\sigma_D=0.25\).
Dans l’exemple ci-dessous on a fait des prélèvements de \(n=3\) unités et on a construit la carte de moyenne.
La carte ne permet pas de détecter la déviation considérée. Une des solutions pour améliorer la détection de ce décentrage est la carte EWMA
4.2 Définition des cartes EWMA
EWMA : Exponentially Weighted Moving Average
On définit la statistique \(z_i\) par une relation de récurrence pour tout \(i=1,...,k\)
\[ z_i=\lambda \bar x_i +(1-\lambda)z_{i-1}, \]
où \(\bar x_i\) est la moyenne des unités pour le prélèvement \(i\) et \(0<\lambda\leq 1\) est un réel qui sera choisi en fonction du poids que l’on veut donner aux données précédentes. En effet, en général on choisit \(z_0=\mu\) (moyenne du procédé de fabrication). On a \[\begin{cases} z_1=\lambda \bar x_1+(1-\lambda)\mu \\ z_2=\lambda \bar x_2+(1-\lambda)z_1= \lambda \bar x_2+\lambda(1-\lambda)\bar x_1+(1-\lambda)^2\mu \\ z_3=\lambda \bar x_3+\lambda(1-\lambda)\bar x_2+\lambda(1-\lambda)^2\bar x_1+ (1-\lambda)^3\mu \\ \ldots \end{cases}\]
La cas \(\lambda=1\) correspond à la carte de Shewhart sur la moyenne.
On constate que \(\bar x_i\) a une importance d’autant plus importante dans \(z_i\) que \(\lambda\) est grand.
En général on utilise \(0.1<\lambda<0.5\).
4.3 Limites de contrôle des cartes EWMA
Les limites de ces cartes sont variables (en fonction de \(i\)) pour \(X\sim \mathcal N(\mu,\sigma)\) on a :\[LC(i) = \mu \pm L\sigma \sqrt {\frac{\lambda}{2-\lambda}[1-(1-\lambda)^{2i}] },\] en général avec \(L=2.7\).
Lorsque le nombre \(i\) de prélèvement est très grand alors \(LC = \mu \pm L\sigma\times \sqrt {\frac{\lambda}{2-\lambda}}\). Dans ce cas on peut jouer sur ce paramètre \(L\) pour améliorer l’efficacité de la carte en fonction de \(\lambda\).
Lorsque l’on suit la moyenne des prélèvements (comme c’est le cas avec la carte de la moyenne) alors \(L=\frac{2.7}{\sqrt{n}}.\)
4.4 Comparaison de la puissance de la carte EWMA et de la carte de la moyenne :
On choisit \(\lambda=0.4\).
lambda=0.4
Z<-ewma_cart(M,mu=mu,sig=sig,lambda=lambda,L = 2.7/sqrt(n))
plot_chart(Z$z,LIC=Z$LIC,LSC=Z$LSC,Type="Carte EWMA")
Si on considère que la déviation commence à partir du 11ième prélèvement alors la carte EWMA la détectera 4 prélèvements plus tard.
Pour ce qui concerne la carte de la moyenne :
mu=15
sig=0.5
n=3
LSC=mu+3*sig/sqrt(n)
muD=15.5
print(paste("Il faudra en moyenne:",
floor(1/pnorm(LSC,muD,sig/sqrt(n),lower.tail = F))+1,"prélèvements pour être sûr de détecter le décentrage de moyenne"))[1] "Il faudra en moyenne: 10 prélèvements pour être sûr de détecter le décentrage de moyenne"