7  Exercices

Exercice 1

  • On considère le jeu de données X qui correspond au suivi de 5 caractéristiques d’une production.

  • On a prélevé 40 échantillons de 6 observations. Les 15 premiers prélèvements ont été effectués pendant 1 heure toutes les 10 min et vont servir à mettre en place les limites de contrôle. Les prélèvements suivants (16 à 40) ont été réalisés toutes les heures et 6 fois par jour.

library(multiSPC)
load("X.rda")
dim(X)
[1] 40  5  6

Il s’agit d’un cube de données (3 dimensions).

Premier travail : cartes univariées sur la première caractéristique

Pour sélectionner la première caractéristique :

data=X[,1,]
  1. Construire les limites de contrôles de la carte de la moyenne et de l’écart type sur les 15 premiers prélèvements.
  1. Appliquer les limites précédentes sur les 25 prélèvements suivants. Que peut-on en déduire ?
  1. Représenter la probabilité de détecter au premier prélèvement un décentrage \(\mu_D\) variant de 25 à 29.
  1. Construction de la carte EWMA, on suivra les moyennes des prélèvements de la phase de test en considérant \(\lambda=0.1,0.2,0.3,0.4\). Quel est l’impact de ces différentes valeurs sur la carte ?

Deuxième travail approche multivariée pour la construction des limites (15 premiers prélèvements)

On va construire deux cartes de contrôle multivariée sur les 15 premières observations afin de calculer les limites de contrôle qui seront utilisées pour les prélèvements en routine (25 dans notre cas).

  • Construire le graphe des corrélations des 5 caractéristiques sur la matrice \(\tilde X\) de dimension \((k,p)\) dont les élements \[\tilde x_{ij}=\frac1{n}\sum_{m=1}^n x_{ijm}.\]

Fonction Moy_X() dans le package multiSPC.

  • Construire la carte de contrôle du \(T^2\) de Hotelling. Que peut on en déduire ? Utiliser la fonction LSC_T2_Hotelling_kn() pour calculer les limites
  • Construire la carte de contrôle du \(T^2\) de Hotelling sur composantes principales à partir de la matrice \(\tilde X\) définie précédemment. Justifier le nombre de composantes choisies.
  • Que peut-on déduire de ces résultats ?

Troisième travail approche multivariée pour la construction des cartes à partir des limites précédentes

Pour les 25 derniers prélèvements :

  • Construire la carte du \(T^2\) de Hotelling en utilisant les limites Phase II obtenues à la question précédente.
  • Construire la carte du \(T^2\) de Hotelling sur Composantes principales en utilisant les limites Phase II obtenues à la question précédente.

Quatrième travail : Etude des points HC sur les cartes multivariées

  • Les points HC dans la carte du T2 seront étudiés en utilisant la fonction T2_Hotelling_kn_MYT() et en suivant la procédure décrite p20 du cours (CM2).
  • Les points HC de la carte \(T^2\) sur composantes principales seront étudiées par des cartes univariées sur les composantes principales. On interprêtera les résultats à partir du cercle de corrélation. Pour cette carte \(\sigma_I\) sera égal à :

Conclusion

Conclure sur l’ensemble des résultats et interpréter les différences de résultats obtenus dans les différentes approches.

Exercice 2

Télécharger le fichier dataEWMA. On suppose que pour les 12 premiers prélèvements la production est stable et centrée sur la qualité attendue.

  1. Estimer les limites de contrôle de la moyenne et de l’écart type.
  1. Appliquer les limites précédentes sur les prélèvements restants. Que remarque t’on ?
  1. Construire la carte EWMA sur l’ensemble des prélèvements permettant de détecter le décentrage le plus rapidement possible sous la contrainte \(0.1<\lambda<0.5\) et \(2.5<L<3.0\). On reprendra les valeurs calculées dans la question pour \(\mu,\sigma\).
  1. En utilisant la carte de la moyenne, quelle serait la probabilité de détecter le premier point hors contrôle obtenu avec la carte EWMA ?